集合论基础

定义集合的方式

集合是数学最基础的对象。我们有两种互补的方式来定义它 —— 一种看 外延，一种看 内涵。

外延法

通过列出所有元素来定义集合。例： {1, 2, 3}。 优点是直观；缺点是无法定义无穷集合。

内涵法

通过给出元素满足的性质来定义。例： {x ∈ ℕ | x 是偶数}。 优点是强大；缺点是可能产生 罗素悖论。

二元运算

集合上的基本运算：

• 并　A ∪ B　属于 A 或 B 的元素
• 交　A ∩ B　同时属于 A 和 B 的元素
• 差　A \ B　属于 A 但不属于 B 的元素
• 对称差　A △ B　恰属于 A 或 B 之一的元素

关系

等价关系与划分

集合上的关系 R 称为 等价关系，若它同时满足：

1. 自反性　∀x, xRx
2. 对称性　∀x,y, xRy ⟹ yRx
3. 传递性　∀x,y,z, xRy ∧ yRz ⟹ xRz

每个等价关系确定一个划分，反之亦然。

相容关系

相容关系是去掉传递性要求的等价关系。它确定集合的一个 覆盖，而非划分。

公理化集合论

朴素集合论会导出罗素悖论。我们需要公理化。最常用的系统是 ZFC。

选择公理 (AC)

对任意非空集合族 {Aᵢ}_{i ∈ I}，存在一个选择函数 f 使得 f(i) ∈ Aᵢ。

等价命题：

• 良序定理 — 任何集合都能被良序化
• Zorn 引理 — 链的并仍有上界 ⟹ 极大元存在
• Tukey 定理 — 滤子有上界 ⟹ 极大滤子
• Hausdorff 极大极值定理

序数与超限归纳

自然数是有限的序数。超越有限，进入超限序数：

• ω　第一个无穷序数
• ω + 1, ω + 2, …, ω · 2, …, ω², …, ω^ω, …, ε₀

超限归纳法

对任意良序集，要证 ∀α P(α)，只需证：

1. 对所有 β < α，P(β) 成立（归纳假设）
2. 由此可推出 P(α)

拓扑与度量

度量空间是带距离函数的集合。距离诱导开集、闭集、连续性。

拓扑空间更一般 —— 它只指定哪些子集是"开的"，但不一定有距离。

下期预告

下一篇会写：

• 选择公理的独立性 — Cohen 力迫法
• 大基数 — 可测基数 / 不可达基数 / Woodin 基数
• 决定性公理 (AD) 与大基数的关系